Главная > Алгебра > Группа автоморфизмов группы Клейна

Группа автоморфизмов группы Клейна

Поступление в магистратуру увенчалось успехом. Эта задача была первой на экзамене и, пожалуй, самой лёгкой. В ней всё просто до очевидности. Четверная группа Клейна — это нециклическая группа из четырёх элементов {e, a, b, c}, изоморфная \mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2. Нетривиальные равенства её таблицы умножения:

a^2=b^2=c^2=e, ab=ba=c, ac=ca=b, bc=cb=a.

Легко видеть, что любая перестановка элементов {a, b, c} не меняет этой таблицы умножения в целом — группа переходит в себя (то есть осуществляет некоторый гомоморфизм, к тому же все перестановки обратимы, поэтому это гомоморфизм, являющийся биекцией, то есть изоморфизм, да к тому же это ещё изоморфизм группы в себя, то есть автоморфизм). При автоморфизме нейтральный элемент e всегда должен переходить в себя, поэтому никаких других автоморфизмов быть не может. S_3 (симметрическая группа перестановок трёх элементов) и есть искомая группа автоморфизмов.

Реклама
Рубрики:Алгебра
  1. Комментариев нет.
  1. No trackbacks yet.

Добавить комментарий

Заполните поля или щелкните по значку, чтобы оставить свой комментарий:

Логотип WordPress.com

Для комментария используется ваша учётная запись WordPress.com. Выход / Изменить )

Фотография Twitter

Для комментария используется ваша учётная запись Twitter. Выход / Изменить )

Фотография Facebook

Для комментария используется ваша учётная запись Facebook. Выход / Изменить )

Google+ photo

Для комментария используется ваша учётная запись Google+. Выход / Изменить )

Connecting to %s

%d такие блоггеры, как: